Créée le, 19/06/2015

 Mise à jour le, 02/09/2016

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Logarithme d'un Nombre :


Deuxième partie : LOGARITHMES


1. - LOGARITHME D'UN NOMBRE

1. 1. - NOTION DE PROGRESSION

1. 1. 1. - PROGRESSION ARITHMÉTIQUE

Définition : On appelle progression arithmétique, une suite de nombres tels que chacun d'eux est égal au précédent augmente ou diminue d'un nombre constant appelé raison.

Exemple :

Progression arithmétique croissante de raison + 2 :

1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19 ; ...

Progression arithmétique décroissante de raison - 3 :

19 ; 16 ; 13 ; 9 ; 6 ; 3 ; 0 ; - 3 ; - 6 ; ...

1. 1. 2. - PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE

Définition : On appelle progression géométrique une suite de nombres tels que chacun d'eux est égal au précédent multiplié ou divisé par un nombre constant appelé raison.

Exemple :

Progression géométrique croissante de raison 2 :

1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; ...

Progression géométrique décroissante de raison 3 :

1 ; 1 / 3 ; 1 / 9 ; 1 / 27 ; 1 / 81 ; ...

1. 2. - LOGARITHME D'UN NOMBRE

1. 2. 1. - LOGARITHME D'UN NOMBRE SUPÉRIEUR A 1

Prenons une progression géométrique croissante de raison 10 et dont le premier est égal à 1 :

1 - 10 - 100 - 1 000 - 10 000 - ; .... 10n

Prenons maintenant une progression arithmétique de raison + 1 et dont le premier terme est égal à 0.

0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 ; .... n

Écrivons ces deux progressions l'une sous l'autre :

 

P.G. :

1

10

100

1 000

104

105

... 10n

P.A. :

0

1

2

3

4

5

... n


Si nous prenons deux nombres d'une même colonne, nous dirons par définition que le nombre de la progression arithmétique est le logarithme du nombre de la progression géométrique.

Ainsi, nous dirons que 2 est le logarithme de 100.

On écrit : log pour logarithme

2 = log 100 = log 102

5 = log 100 000 = log 105

n = log 10n

et en particulier     0 = log 1

1 = log 10

Le logarithme correspond donc à l'exposant de la puissance de base 10 ; 2 est le logarithme de 102 = 100 ; 3 celui de 103 = 1 000 ; 5 celui de 105 ...

Règle : Le logarithme d'une puissance de 10 supérieur à 1 est positif et égal à l'exposant de la puissance de 10.

Remarque : La raison de la progression géométrique étant 10, les logarithmes obtenus, sont dits décimaux ou à base 10 ou encore vulgaires.

1. 2. 2. - LOGARITHME D'UN NOMBRE COMPRIS ENTRE 0 ET 1

La même progression géométrique que celle définie plus haut, donne :

1 / 10n ..... 1 / 105 ; 1 / 104 ; 1 / 103 ; 1 / 102 ; 1 / 10 ; 1 etc...

La même progression arithmétique que ci-dessus vers les nombres négatifs, donne :

- n ....  ; - 5 ; - 4 ; - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ....

Écrivons les deux progressions l'une en-dessous l'autre. Comme précédemment, le nombre de la progression arithmétique est le logarithme du nombre correspondant de la progression géométrique.

 

P.G. :

1 / 10n

....

1 / 105

1 / 104

1 / 103

1 / 102

1 / 10

1

10

102

P.A. :

- n

....

- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

Ainsi : log 10-5 = log (1 / 105) = - 5 ....    et    log 10-1 = log 1 / 10 = - 1

Règle : Le logarithme d'une puissance de 10 inférieure à 1 est négatif et égal à l'exposant de la puissance de 10.

Le même procédé a été utilisé pour déterminer les logarithmes des nombres décimaux et des tables de logarithmes ont été établies. Nous parlerons de ces tables un peu plus tard.

1. 2. 3. - TABLEAU RÉCAPITULATIF

Résumons ce qui vient d'être dit.

 

Nombres décimaux > 0

Puissance de 10

Logarithmes

0

-

-

0,0001

10-4

- 4

0,01

10-2

- 2

0,1

10-1

- 1

1

100

0

10

101

1

100

102

2

1 000

103

3

10 000

104

4








On retiendra que :

      Les nombres négatifs n'ont pas de logarithme ;

      Le logarithme de 1 est égal à zéro ;

      Les logarithmes des nombres plus grands que 1 sont positifs ;

      Les logarithmes des nombres supérieurs à 0 et inférieurs à 1 sont négatifs ;

      Seules les puissances de 10 ont pour logarithmes des nombres entiers.

Exemples : log 1 000 = 3    ;    log 0,001 = - 3

1. 3. - PROPRIÉTÉS DES LOGARITHMES

1. 3. 1. - LOGARITHMES D'UN PRODUIT

Soient deux nombres A et B, et a et b leurs logarithmes.

a = log A

b = log B

Nous pouvons écrire d'après la définition même des logarithmes (paragraphe 1. 2.)

A = 10a

B = 10b

Soit maintenant le produit AB :

 P = AB = 10a . 10b = 10a + b

et en prenant le logarithme des deux membres :

log AB = a + b = log A + log B

D'où la formule fondamentale suivante :

log AB = log A + log B

Vous voyez tout de suite l'intérêt des logarithmes : on a remplacé le calcul d'un produit par celui d'une somme.

En généralisant, nous écrirons :

log ABCD = log A + log B + log C + log D

Exemple : Nous devons calculer le logarithme du nombre 300.

Nous allons décomposer 300 en un produit de facteurs inférieurs à 100.

300 = 3 x 100

log 3 = 0,47712

log 100 = 2

D'où, en appliquant les règles précédentes :

log 300 = log 3 + log 100

log 300 = 0,47712 + 2

log 300 = 2,47712

On aurait encore pu écrire :

300 = 10 x 30

log 10 = 1

log 30 = 1,47712

log 300 = 2,47712

Ou encore :

300 = 3 x 10 x 10

log 3 = 0,47712

log 10 = 1

log 10 = 1

log 300 = 0,47712 + 1 + 1 = 2,47712

1. 3. 2. - LOGARITHME D'UN QUOTIENT

Soit le quotient A / B = Q

D'où l'on tire : A = B . Q

Appliquons la règle précédente :

log A = log B + log Q

ou    log Q = log A - log B

Donc :

B3

Une division a été remplacée par une soustraction.

Exemple :

Soit le quotient : 200 / 10 dont nous voulons connaître le logarithme.

Nous pouvons écrire :

log 200 / 10 = log 200 - log 10

Or       200 = 100 x 2

d'où      log 200 = log 100 + log 2 = 2 + 0,30103 = 2,30103

et       log 10 = 1

d'où        log 200 - log 10 = 2,30103 - 1

et enfin       log 200 / 10 = 1,30103

Il est bien évident que nous aurions pu, au départ, calculer le quotient de 200 / 10, soit 20 et chercher le logarithme de 20 ou le calculer en fonction des règles connues et sachant que 20 = 2 x 10.

Autre exemple :

Soit le quotient 59 / 27 dont nous voulons connaître le logarithme :

log 59 / 27 = log 59 - log 27

La table ou tout simplement d'une calculatrice dite "scientifique" nous donne directement les valeurs :

log 59 = 1,77085

log 27 = 1,43136

D'où      log 59 / 27 = 0,33949

1. 3. 3. - LOGARITHME D'UN NOMBRE ÉLEVÉ A UNE PUISSANCE P

Soit le nombre A élevé à la puissance p :

Ap = A x A x A x A x.....x A

Donc :     log Ap = log A + log A + log A +.....+ log A

log Ap = p log A

Exemple : Quel est le logarithme de 1 000 ?

1 000 = 10 x 10 x 10 = 103

Appliquons la dernière relation :

log 103 = 3 log 10

               = 3 x 1

      log 103 = 3

Autre exemple : Quel est le logarithme de 102,5 ?

log 102,5 = 2,5 log 10

                  = 2,5 x 1

log 102,5 = 2,5

Troisième et dernier exemple :

Quel est le logarithme de 1 600 ?

1 600 = 16 x 100 = 42 x 102

Nous nous trouvons avec un produit dont chacun des termes est élevé au carré :

D'où :       log 1 600 = log 42 + log 102

      log 42 = 2 log 4

           = 2 x 0,60206 = 1,20412

     log 102 = 2 log 1

 = 2 x 1 = 2

et enfin       log 1 600 = 1,20412 + 2

soit :     log 1 600 = 3,20412

1. 3. 4. - GÉNÉRALISATION

La formule ci-dessus reste valable si (p) est un nombre fractionnaire : p = m / n 

 

B4

Or, une puissance fractionnaire est une extraction de racine.

 

B5

En particulier si m / n = 1 / 2, nous avons une extraction de racine carrée :

 

B6

Vous sentez plus encore, dès maintenant, l'intérêt considérable que peuvent présenter les logarithmes. Une extraction quelconque de racine (aussi compliqué que l'on veut) qui serait inextricable par la méthode de calcul classique, se résout très rapidement à l'aide des logarithmes.

Prenons un exemple : Soit à extraire la racine carrée de 100.

 

B7

Or, le nombre R qui a pour logarithme 1 est 10, donc :

R = 10

Nous voyons que les logarithmes permettent d'effectuer facilement des calculs complexes à condition, bien entendu, de bien connaître les règles d'application.


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