Créée le, 19/06/2015

 Mise à jour le, 02/09/2016

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  Algèbre logique        Montages électriques : conventions    Bas de page


Notions sur les Ensembles - Algèbre Logique :


1. - NOTIONS SUR LES ENSEMBLES

1. 1. - ENSEMBLES

On appelle ensemble, toute collection d'objets ou d'êtres pris au hasard ou ayant des propriétés communes.

Exemple :

  l'ensemble des végétaux

  l'ensemble des objets célestes

  l'ensemble des animaux

  l'ensemble des carnivores

  l'ensemble des mammifères

  l'ensemble des nombres entiers.

En mathématique, on représente un ensemble par une surface.

1. 2. - INTERSECTION DE DEUX ENSEMBLES    (figure 1)

On appelle intersection de deux ensembles A et B l'ensemble I composé de tous les objets communs à A et B.

L'ensemble hachuré I constitue l'intersection des ensembles A et B (figure 1).

Intersection_de_deux_ensembles.gif

Dans la théorie mathématique des ensembles, on écrit I = A n B et on énonce I égal A inter B.

En algèbre de Boole, par commodité typographique, on écrit :

I = A . B

Que l'on énonce 

I égal A ET B

En effet, si par exemple A est l'ensemble des carnivores et B l'ensemble des mammifères, I sera l'ensemble des animaux mammifères ET carnivores.

1. 3. - ENSEMBLE DISJOINT    (figure 2)

On appelle ensembles disjoints deux ensembles A et B qui n'ont aucun élément commun.

On dira que si par exemple A est l'ensemble des mammifères et B l'ensemble des végétaux, que A et B sont deux ensembles disjoints.

Ensembles_disjoints.gif

Il n'y a aucun point commun entre les deux.

1. 4. - RÉUNION DE DEUX ENSEMBLES   (figure 3)

On appelle réunion de deux ensembles A et B, l'ensemble R composé des éléments appartenant à l'un au moins des ensembles A et B.

Reunion_de_deux_ensembles.gif

L'ensemble hachuré R constitue la réunion de A et B. Dans la théorie des ensembles, on écrit R = A u B et on énonce R égal A union B.

En algèbre de Boole, par commodité typographique, on écrit :

R = A + B

Que l'on énonce   R = A OU B

En effet, si par exemple R est l'ensemble des êtres vivants, A l'ensemble des végétaux, et B l'ensemble des animaux, on peut dire que les êtres vivants R sont des végétaux A OU des animaux B.

1. 5. - INCLUSION, SOUS ENSEMBLE, PARTIE   (figure 4)

1. 5. 1. - EXEMPLE ET DÉFINITION

Si chaque élément d'un ensemble A appartient à l'ensemble F, on peut dire que l'ensemble A est inclus ou contenu dans l'ensemble F.

Ensemble_Inclus.gif

On écrit A F. On énonce A est inclus dans F.

En effet, si par exemple F est l'ensemble des animaux, et A l'ensemble des mammifères, on dira que A est un sous ensemble de F, ou que l'ensemble des mammifères A n'est qu'une partie de l'ensemble des animaux F.

1. 5. 2. - ÉCRITURES ÉQUIVALENTES À   A     F

a) - L'écriture A . F = A est illustrée figure 5.

Nous pouvons dire, en effet, que l'ensemble des êtres qui sont à la fois des animaux ET des mammifères est l'ensemble des mammifères tout simplement, soit A.

Illustration_de_A_F_egal_A.gif

On peut voir que l'intersection de A ET F est bien A.

A n F = A  ou  A . F = A

Mais nous voyons également que A est bien inclus dans F.

b) - L'écriture A + F = F est illustrée figure 6.

On peut dire que A u F = F  ou  A + F = F.

L'ensemble A est bien inclus dans F.

A + F = F

Ceci revient à dire par exemple qu'un être, appartenant à l'ensemble des mammifères A, ou appartenant à l'ensemble des animaux F, appartient de toute façon à l'ensemble des animaux F.

1. 6. - COMPLÉMENT D'UN ENSEMBLE PAR RAPPORT A UN AUTRE  (figure 7)

Complement_d_un_ensemble.gif

Soit un ensemble A inclus dans un ensemble E.

L'ensemble des éléments appartenant à E et n'appartenant pas à A est le complément de A par rapport à E.

On notera A_barre.gif et l'on énoncera A barre le complément de A par rapport à E.

Si E par exemple est l'ensemble des animaux, et A l'ensemble des carnivores (ou animaux mangeant de la viande), on peut dire que les animaux végétariens (ou ne mangeant pas de viande) appartiennent à l'ensemble A_barre.gif.

1. 7. - RÉFÉRENTIEL   (figure 8)

Supposons que l'ensemble A (p) soit l'ensemble des éléments ayant la propriété p inclus dans un ensemble Â.

L'ensemble  est appelé référentiel.

Ensemble_referentiel.gif

Si aucun élément de l'ensemble A (p) ne possède la propriété désirée, on appellera A (p) ensemble vide.

L'ensemble A_barre.gif(p) est le complément de A (p) par rapport à Â.

Par convention, en algèbre de Boole, le référentiel est désigné par 1 et l'ensemble vide par 0.

Si l'ensemble vide est  A_barre.gif et le référentiel  Â = 1, on peut écrire :

A + A_barre.gif = Â = 1

1. 8. - EXEMPLE DE REPRÉSENTATION DE NOMBRES BINAIRES  (figure 9).

On appelle chiffre binaire un chiffre qui ne peut avoir que deux valeurs 1 ou 0.

Exemple_de_referentiel.gif

Considérons le référentiel  constitué par la portion du plan P délimitée par une courbe fermée. Le plan est ainsi partagé en deux zones ne se recoupant pas. Le référentiel contient les variables logiques binaires prenant les valeurs 1 ou 0.

S'il existe a, b, c, d, tel que a = 1 pour a appartenant à A, b = 1 pour b Î B, c = 1 pour c Î C et d = 1 pour d Î D, on dira que a = 0, b = 0, c = 0 et d = 0 pour a, b, c, d n'appartenant pas à A, B, C, D ; c'est-à-dire faisant partie de l'ensemble vide 0, (Î signifie appartenant à, Ï signifie n'appartenant pas à).

Nous pouvons dire qu'à l'intérieur du référentiel il existe neuf zones numérotées de 0 à 14 telles que a, b, c, d prennent les valeurs de la figure 10.

Tableau_des_Zones_de_la_figure_9.gif

Nous pouvons voir que toutes les combinaisons de a, b, c, d, n'existent pas, telle qu'est dessinée la figure 9.

Nous verrons par la suite que certaines variables binaires (termes définis au chapitre suivant) ne peuvent prendre dans un schéma électrique, par exemple, toutes les valeurs existantes par suite d'impossibilités technologiques.


VERS LE HAUT 2. - ALGÈBRE LOGIQUE

2. 1. - NOTION D'ÉTAT

"L'état est la manière d'être des choses."

On dira qu'une salade est verte et qu'une tomate est rouge. Mais on ne pourra jamais additionner une salade verte et une tomate rouge.

Par contre, on peut dire sans se tromper qu'il y a deux végétaux (dont les couleurs sont différentes).

Si nous considérons maintenant une bicyclette rouge et une automobile rouge, nous pouvons dire qu'elles sont de couleur rouge.

Nous voyons donc que si des opérations peuvent être réalisées en tenant compte d'états (ici des couleurs) ce ne sont pas des opérations arithmétiques, ou algébriques traditionnelles, car le résultat n'est pas caractérisé par un nombre mais par un état (ici une couleur).

Dans les exemples précédents ont été choisies deux couleurs caractéristiques différentes, le rouge et le vert : notre logique de raisonnement est donc une logique à deux états.

"Il faut qu'une porte soit ouverte ou fermée."

C'est la même chose pour un contact électrique, pour lequel il n'existe que deux positions (ou deux états) : ouvert ou fermé.

Un relais électromagnétique comme ceux utilisés dans les centraux téléphoniques ou autocommutateurs est au repos (non excité) ou au travail (excité).

Un volet dans une conduite pneumatique est ouvert ou fermé, il en sera de même pour une vanne hydraulique.

Une proposition telle que Paul est à l'école ne peut avoir que deux réponses ou états logiques :

      OUI Paul est à l'école

      NON Paul n'est pas à l'école.

2. 2. - VARIABLE BINAIRE BOOLÉENNE

Dans l'exemple choisi précédemment, nous pouvons dire : Paul est-il à l'école ? OUI ou NON. Rien ne vous empêche d'affecter la réponse OUI de la valeur 1 et la réponse NON de la valeur 0.

Nous pouvons dire que la variable "Paul est à l'école" a deux états : OUI état 1, NON état 0 (figure 11).

Une variable Booléenne sera donc toute quantité susceptible de prendre seulement deux valeurs : 1 ou 0.

Etats_d_une_variable.gif

Étudions maintenant la durée de la journée :

Lorsque Paul est à l'école, les jours font 24 heures.

Lorsque Paul n'est pas à l'école les jours font-ils 24 heures ? OUI.

Nous pouvons dire que dans notre histoire, la durée du jour est une constante.

Si nous affectons arbitrairement l'état 1 à la réponse OUI, l'état de la journée sera toujours 1.

Nous appellerons constante Booléenne toute quantité Booléenne qui garde toujours la même valeur soit 1, soit 0.

 2. 3. - FONCTION D'UNE VARIABLE

Lorsque deux variables Booléennes, a et b, sont liées par une relation, telle qu'à une valeur de a correspond une valeur de b, on dit que b est une fonction de a et on écrit :

b = f (a)

Exemple :

"S'il fait beau, j'irai me promener."

Ici la variable "promenade" est fonction de la variable "beau temps". En effet, s'il pleut je n'irai pas me promener, mais s'il fait beau j'irai.

2. 4. - FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES

Pour simplifier, examinons le cas d'une fonction de deux variables.

Une fonction sera dite de deux variables lorsque la variable c, par exemple, dépend à la fois de la valeur d'une variable a, ainsi que d'une variable b. On dit que c est fonction de a et de b et on écrit c = f (a, b).

Exemple :

"S'il fait beau et si je suis en meilleure santé, j'irai me promener."

La variable "promenade" dépend de la variable "beau temps" et de la variable "meilleure santé". Car, il faut pour que j'aille me promener que le temps soit beau et que ma santé soit meilleure.

2. 5. - FONCTION DE FONCTION

Si d est fonction de c, on peut écrire d = F (c) mais comme c = f (a, b) on écrit :

d = F [ f (a, b) ]

On dit que d est fonction de fonction de a et b.

Exemple :

"Si je vais me promener, j'emmènerai le chien."

La variable "sortie du chien" est fonction de la variable "promenade" qui, comme nous l'avons vu plus haut est fonction de la variable "beau temps" et de la variable "santé".

2. 6. - FONCTION OUI  (figure 12)

2. 6. 1. - EXEMPLE ET DÉFINITION

Supposons maintenant, que lorsqu'il fait beau, Paul va jouer au ballon et que lorsqu'il pleut il va à l'école.

Appelons respectivement a et b la variable "beau temps" et la variable "Paul joue au ballon."

Si nous affectons la réponse OUI de 1 et la réponse NON de 0, nous pouvons construire le tableau (figure 12)

Fonction_OUI.gif

Nous voyons que la variable "Paul joue au ballon" est à 1 lorsque la variable "beau temps" est à 1. Elle est à 0 lorsque la variable "beau temps" est à 0.

On peut écrire Paul joue au ballon = f (beau temps) et comme la variable "Paul joue au ballon" prend toujours la même valeur que la variable temps, on dit que la fonction f est une fonction OUI.

On écrit   a = b.

2. 6. 2. - REPRÉSENTATION D'EULER OU DE VENN   (figure 13)

On dit que deux variables a et b sont égales, lorsqu'elles sont représentées par les mêmes points du référentiel c'est-à-dire si les contours qui les définissent sont confondus.

Representation_d_Euler.gif

  2. 6. 3. - MONTAGE ÉLECTRIQUE : CONVENTIONS   (figure 14)

L'interrupteur à poussoir de la figure 14 est toujours sur un schéma de principe représenté au repos, c'est-à-dire le bouton poussoir qui le fait manœuvrer non actionné. Par convention, on représente le poussoir de manière à ce qu'il tombe en position par son propre poids (contact représenté horizontal).

Montage_fonction_OUI.gif 

Sur la figure 14, nous voyons un contact travail, c'est-à-dire qui se ferme au travail (lorsqu'on l'actionne). Il est donc bien ouvert au repos comme sur la figure 14.

Par convention également on fait correspondre en logique positive :

      à l'état physique contact fermé l'état logique 1

      à l'état physique contact ouvert l'état logique 0

      On nomme la "variable contact" : a, car cette variable est active à 1, c'est-à-dire laisse passer le courant issu de la pile lorsqu'on appuie sur le poussoir : c'est un contact travail.

La lampe s'allume (état 1) lorsque l'interrupteur a est fermé (état 1).

La lampe est éteinte (état 0) lorsque l'interrupteur a est ouvert (état 0).

On définit par état "0" ou état "1" l'état électrique d'un élément.

Quelques_illustrations_de_l_etat_logique.gif

2. 6. 4. - TABLE DE VÉRITÉ

Jusqu'ici, nous avons étudié des propositions logiques telles que nous en faisons chaque fois que nous parlons ; c'est-à-dire des phrases.

Maintenant, dans les exemples pratiques réalisés avec des contacts, et illustrant chaque fonction, nous faisons correspondre à un état physique un état logique.

Dans l'exemple de la figure 14, nous pouvons appeler "a" variable d'entrée et "S" variable de sortie ou récepteur. En règle générale, un récepteur sera un moteur, une lampe ou tout organe commandé. Une variable d'entrée sera un contact ou un transducteur ou capteur pouvant se résumer à un contact.

C'est pourquoi, les tables de vérités se résument aux variables d'entrée et de sortie affectées de l'état logique correspondant. Pour la figure 14, nous obtenons la table de vérité (figure 16).

Table_de_verite_fonction_OUI.gif 

Nous utiliserons des lettres minuscules pour les variables d'entrée et majuscules pour les variables de sortie.

2. 7. - FONCTION INVERSION, NON, PAS

2. 7. 1. - EXEMPLE ET DÉFINITION

Examinons maintenant la relation ou fonction qui lie la variable "beau temps" à la variable "Paul est à l'école" que nous appellerons respectivement a, b (figure 17).

Nous voyons que la variable "Paul est à l'école" est à 0 lorsque la variable "beau temps" est à 1 et vice versa. Nous pouvons donc dire que la fonction f qui lie la variable "Paul est à l'école" à la variable "beau temps" est la fonction inversion que l'on appelle aussi complément.

Nous écrivons b = A_barre.gif que nous énonçons b = a barre.

Fonction_NON.gif

2. 7. 2. - REPRÉSENTATION D'EULER OU DE VENN    (FIGURE 18)

Soit un ensemble A inclus dans un ensemble référentiel  des nombres binaires 0 ou 1.

L'ensemble des éléments appartenant à Â et n'appartenant pas à A, est appelé complément de A par rapport à Â.

L'ensemble hachuré (figure 18) est le complément de A par rapport à l'ensemble  soit B.

On peut désigner le complément de A par A_barre.gif, on en déduit alors que B = A_barre.gif.

Comme l'ensemble  est l'ensemble des bits (on appelle bit un chiffre binaire de l'anglais "binary digit") à 1 ou 0, on peut dire que si la variable a Î A et si la variable b Î B.

si a = 0 --------->  b = A_barre.gif = 1

si a = 1 --------->  b = A_barre.gif = 0

2. 7. 3. - MONTAGE ÉLECTRIQUE : CONVENTIONS  (figure 19)

Montage_fonction_NON.gif

Les contacts étant toujours représentés au repos, (tombant par leur propre poids), le contact représenté figure 19 est toujours fermé au repos : on l'appellera contact repos.

Nous garderons la convention énoncée au sujet de la figure 14 à savoir :

      état électrique du contact : fermé -----> état logique 1

      état électrique du contact : ouvert -----> état logique 0

Nous appellerons cette convention, logique positive.

On appelle en logique positive la variable "contact repos" A_barre car cette variable est un contact fermé c'est-à-dire à l'état logique 1 lorsqu'elle n'est pas actionnée c'est-à-dire lorsqu'elle n'est pas active et on dira alors que A_barre = 1, la lampe S sera alors allumée et son état logique sera 1.

A l'inverse, lorsque l'on appuie sur A_barre le contact va s'ouvrir d'où l'état logique 0 : dans ce cas A_barre = 0 ; la lampe S sera alors éteinte et son état logique sera 0.

On peut donc écrire S = A_barre que l'on peut résumer par la table de vérité (figure 20).

Table_de_verite_fonction_NON.gif 

On définit par état "0" ou état "1" l'état électrique d'un élément (figure 21).

Illustration_de_l_etat_logique.gif

Nous vous conseillons avant d'aller plus loin de comparer cette figure avec la figure 15 afin de bien comprendre la différence de notation entre contact travail et contact repos pour lequel on appelle la variable A_barre.


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