Créée le, 19/06/2015

 Mise à jour le, 02/09/2016

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   Équations du premier degré à une inconnue       Bas de page   


Algèbre - Équations - Identités :


DEUXIÈME PARTIE : ALGÈBRE


4. - ÉQUATIONS - IDENTITÉS


4. 1. - INTRODUCTION A LA NOTION D'ÉQUATION


1 - Quand vous écrivez 3 + 7 = 7 + 3, vous obtenez une égalité numérique. Vous pouvez d'ailleurs la vérifier rapidement, en effectuant les calculs indiqués de part et d'autre du signe = et en vous assurant que les résultats trouvés sont les mêmes.

2 - Si vous écrivez maintenant 3x + 7 = 7 + 3x, vous obtenez une identité littérale (remarquez qu'en remplaçant (x) par une valeur numérique quelconque, vous retrouvez une égalité numérique).

Définition de l'identité : Une identité est une égalité littérale qui est vérifiée pour toutes les valeurs numériques que l'on peut donner aux lettres qu'elle renferme.

Exemple : Reprenons l'identité 3x + 7 = 7 + 3x et donnons à (x) les valeurs suivantes :

x = 1 nous donne 3 + 7 = 7 + 3

x = - 1 nous donne - 3 + 7 = 7 - 3

x = 10 nous donne 30 + 7 = 7 + 30....

Citons aussi : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ....

3 - Si vous écrivez maintenant 2 (x + 6) = 4 x + 6, vous pouvez croire à première vue que c'est faux, et ce serait faux en effet, si vous aviez voulu écrire une identité. L'égalité ci-dessus, n'est vérifiée que pour une valeur particulière de x. C'est une équation. Si vous donnez la valeur 3 pour x, l'équation est résolue et vous avez retrouvé une égalité numérique. Aucune autre valeur de x ne résout cette équation.

Définition : Une équation est une égalité littérale qui n'est vérifiée que pour certaines valeurs attribuées aux lettres qu'elle contient.

Ces valeurs sont les solutions ou racines de l'équation.

Résoudre une équation c'est trouver toutes ces racines (ou solutions). Dans des équations complexes, plusieurs solutions peuvent répondre au problème et résoudre l'équation. Nous n'étudierons pas les équations dites du second ou troisième degré, ce qui sortirait du cadre de notre leçon, qui n'a pour but, comme nous l'avons dit, de vous faciliter la compréhension des différentes théories.

4. 2. - RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS

Pour résoudre une équation, il faut essayer de la remplacer par une équation équivalente plus simple, dont on connaît les racines.

Règle 1 : Lorsqu'on ajoute ou retranche une même expression algébrique aux deux membres d'une équation, on obtient une équation équivalente à la première.

Soit ------> 3 (x + 2) = 2x + 3

On peut ajouter (ou retrancher) aux deux membres, un nombre algébrique "A" quelconque sans modifier l'équation.

On peut donc écrire : 3 (x + 2) + A = 2x + 3 + A

"A" peut être un nombre pur, ou contenir l'inconnue x.

Remarque : On peut transposer un terme d'un membre d'une équation dans l'autre à condition de changer son signe.

Exemple :

3 + 2x = 3x + 4

Retranchons 3 dans chaque membre :

3 + 2x - 3 = 3x + 4 - 3

Effectuons les opérations possibles dans le premier membre ; il reste :

2x = 3x + 4 - 3

Nous observons que le terme 3, qui avait le signe + dans le premier membre, a le signe moins dans le second, ce qui confirme bien la règle énoncée.

Appliquons donc cette règle pour le terme 3x :

2x - 3x = 4 - 3

                                                                                                              - x = 1

                                                                                                  ou         x = - 1

Remarque : Il faut toujours, dans le résultat final, exprimer "x positif". Dans le cas où l'on obtient "x négatif", il suffit de multiplier les deux termes de l'équation par - 1 pour obtenir "x positif".

Règle 2 : Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une équation par une même expression algébrique non nulle, on obtient une équation équivalente à la première.

  P7 

A, B et C étant des expressions algébriques.

APPLICATIONS :

1 - On peut "chasser les dénominateurs" d'une équation, en multipliant un de ses membres par le dénominateur de l'autre et inversement.

Exemple :

5x - 11 / 4 = 3x + 20 / 15

Pour "chasser" les dénominateurs, on multiplie par 15 le membre de gauche et par 4 le membre de droite :

(5x - 11) . 15 = (3x + 20) . 4

Nota : Cela nous rappelle la propriété des proportions "produit des extrêmes = produit des moyens".

La solution est :

75x - 165 = 12x + 80

63x = 245

x = 245 / 63

Autre exemple :

Soit : 5x - 11 / 4 = 3x + 20

Multiplions par 4 le membre de droite. 4 "est chassé" du membre gauche et vient multiplier le membre droit.

5x - 11 = 4 (3x + 20)

La résolution de l'équation se poursuit, alors, comme nous l'avons vu ci-dessus :

5 x - 11 = 12x + 80

- 91 = 7x

d'où : x = - 91 / 7 = - 13

2 - On peut simplifier une équation en divisant les deux membres par un même nombre non nul.

P8

Avec C, non nul. (Autre propriété des proportions).

Remarque :

P9




Exemple de calcul :

Nous avons l'équation suivante :

(7x + 3) (x - 2) = (4x - 1) (x - 2)

On remarque la présence de (x - 2) dans les deux membres. Nous pouvons donc les simplifier par x - 2 selon la règle 2. Mais cette expression (x - 2) s'annule pour x = 2. Les deux membres sont alors multipliés par 0 et l'équation est vérifiée. (On obtient 0 = 0).

Le nombre 2 est une première racine. Nous pouvons maintenant simplifier par (x - 2). Nous avons :

7x + 3 = 4x - 1

d'où : 7x - 4x = - 3 - 1

3x = - 4

x = - 4 (4 / 3) qui est la 2ème racine

Nous avons donc trouvé à cette équation les deux racines :

x = 2 et x = - (4 / 3)

Vous voyez d'après cet exemple, qu'il faut se garder de simplifier sans précaution, par une expression qui peut s'annuler : vous courrez le risque de supprimer une solution de l'équation.

HAUT DE PAGE 5. - ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A UNE INCONNUE

Exemple de calcul :

Soit à résoudre : (2x + 1) / x = (2x - 5) / (x - 2)

1 - On "chasse" les dénominateurs :

(2x + 1) (x - 2) = (2x - 5) x

2 - On effectue :

2x2 + x - 4x - 2 = 2x2 - 5x

3 - On fait passer les inconnues à gauche et les valeurs numériques à droite.

2x2 - 2x2 + x - 4x + 5x = 2

2x = 2

x = 1

On s'assure maintenant que la racine carrée trouvée n'annule pas un dénominateur :

B1

On peut donc confirmer que 1 est la racine de l'équation.

Remarque : La présence de 2x2 indique une équation du second degré.

Dans ce cas, le terme en x2 disparaît par le calcul, car il existe dans les deux membres. Nous revenons à une équation du 1er degré que nous savons résoudre. Si par contre après simplification, un terme en x2 était resté présent, nous n'aurions pas pu résoudre l'équation n'ayant pas étudié les équations du second degré.

5. 2. - ÉQUATION A COEFFICIENTS LITTÉRAUX

Soit à résoudre : (ax - c) / b = (c - ax) / a

Cette équation n'a de sens que si les termes a, b et c sont différents de zéro.

1 - Chassons les dénominateurs :

(ax - c) a = (c - ax) b

a2x - ac = bc - abx

2 - Passons les termes en (x) dans un membre, les termes sans (x) dans l'autre.

a2x + abx = ac + bc

3 - Mettons (x) en facteur commun

x (a2 + ab) = c (a + b)

Mettons maintenant "a" en facteur commun dans le premier membre :

ax (a + b) = c (a + b)

4 - Pour obtenir x seul, il nous faut diviser le premier terme par a (a + b). Mais pour conserver l'égalité, divisons les deux membres par cette valeur :

 B2

5 - Discussion :

Si a + b est différent de 0, nous pouvons simplifier par a + b et nous obtenons :

x = c / a

Si a + b est égal à 0, l'équation est de la forme :

ax . 0 = c . 0

Il est indéterminée. En effet, les deux membres sont toujours nuls quelle que soit la valeur que l'on donne à x.

Ces calculs peuvent vous paraître compliqués. Il n'en est rien. Ce ne sont que des applications de règles élémentaires que nous avons étudiées jusqu'à maintenant. Par contre, il est très important d'observer attentivement une équation avant de développer les calculs.

5. 3. - RÉSOLUTIONS D'ÉQUATIONS

5. 3. 1. - PAR LES PRODUITS DE FACTEURS

(3 - x) (x + 4) = 0

Il est évident que pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul.

Exemple :

107 x 109 x 0 = 0

D'où deux possibilités et les deux solutions :

 

1)

3 - 4 = 0

c'est-à-dire

x = 3

2)

x + 4 = 0

c'est-à-dire

x = - 4

5. 3. 2. - PAR MISE EN FACTEUR COMMUN

Soit l'équation :

2x2 - 3x = 21x

2x2 - 3x - 21x = 0

2x2 - 24x = 0

Mettons x en facteur commun :

x (2x - 24) = 0

Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul.

D'où les deux solutions :

 

1)

x = 0

x = 0

2)

2x - 24 = 0

x = 12

5. 3. 3. - ÉQUATION CONTENANT L'INCONNU EN FACTEUR DANS LES DEUX MEMBRES

(x + 3) (2x - 2) = (x + 4) (x + 3)

On aperçoit le terme (x + 3) dans les deux membres. Nous avons rencontré un tel problème tout à l'heure.

Si le terme (x + 3) est nul, l'équation est vérifiée. C'est donc la première solution.

x = - 3

Si (x + 3) n'est pas nul, on peut simplifier les deux membres par (x + 3) et on trouve :

2x - 2 = x + 4

2x - x = 2 + 4

x = 6 qui est la deuxième solution

En résumé les deux solutions sont :

x = - 3

x = 6

Nous terminons ainsi l'étude élémentaire de l'algèbre.

 




  

    






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