Créée le, 19/06/2015

 Mise à jour le, 02/09/2016

Visiteurs N°  




Accueil
Nouveau Blog Nouveautés Moteur de Recherche Votre Caddie Pour Vos Achats Votre Espace Membre Vos Signets et Vos Jeux Préférés Page de Bienvenue Statique Site en Français Site en Anglais
Sommaires
Électronique Fondamentale Technologie Fondamentale Testez vos Connaissances Électronique Théorique Digitale Électronique Pratique Digitale Lexique Électronique Numérique Data book TTL Data book CMOS Dépannage TVC Mathématique
Micro-ordinateurs
Théorique des Micro-ordinateurs Testez vos Connaissances Pratique des Micro-ordinateurs Glossaires sur les Ordinateurs
Physique
La lumière Champ d'action Rayonnement Électromagnétique
Technologies
Classification des Résistances Identification des Résistances Classification des Condensateurs Identification des Condensateurs
Formulaires Mathématiques
Géométrie Physique 1. - Électronique 1. 2. - Électronique 1. 3. - Électrotechnique 1. 4. - Électromagnétisme
Accès à tous nos Produits
E. T. F. - Tome I - 257 Pages E. T. F. - Tome II - 451 Pages E. T. F. - Tome III - 611 Pages E. T. D. - Tome I - 610 Pages N. B. M. - Tome I - 201 Pages E. T. M. - Tome I - 554 Pages Business à Domicile Ouvrages 34 pages gratuits Nos E-books Logiciel Géométrie Logiciel Composants Électroniques
Aperçu de tous nos Produits
E. T. F. - Tome I - 257 Pages E. T. F. - Tome II - 451 Pages E. T. F. - Tome III - 611 Pages E. T. D. - Tome I - 610 Pages E. T. M. - Tome I - 554 Pages Logiciel Géométrie Logiciel Composants Électroniques
Nos Leçons aux Formats PDF
Électronique Fondamentale Technologie Fondamentale Électronique Théorique Digitale Électronique Pratique Digitale Théorique des Micro-ordinateurs Mathématiques
Informatique
Dépannage Win98 et WinXP et autres Dépannage PC Glossaire HTML et Programmes PHP et Programmes JavaScript (en cours de travaux) Création de plusieurs Sites
Forums
Nouveau Forum Électronique Forum Électronique et Infos Forum Électronique et Poésie
Divers et autres
Formulaire des pages perso News XML Statistiques CountUs Éditeur JavaScript Nos Partenaires et nos Liens Utiles Gestionnaire de Partenariat Nos Partenaires MyCircle Sondages 1er Livre d'Or 2ème Livre d'Or 3ème livre d'Or Déposez vos Annonces Annuaire Sites Agenda des Événements Album Photos

Signets :
  Opérations sur les fractions        Rapports      Proportions
     Bas de page  


Les Fractions et les Rapports :


MATHÉMATIQUES   "3ème Partie"

5. - LES FRACTIONS


5. 1 - GÉNÉRALITÉS


Un objet quelconque peut être divisé (ou fractionné) en un certain nombre de morceaux.

Par exemple, une galette peut être découpée en un certain nombre de parts. Chaque part est une fraction de la galette.

Le mètre a été divisé en un certain nombre de "morceaux". Ces "morceaux" sont des fractions du mètre : le décimètre, le centimètre, le millimètre.

5. 2. - REPRÉSENTATION DES FRACTIONS

Si nous coupons, ou fractionnons, la galette en 8 parts égales et que nous en prenons une, on dira que nous avons pris un huitième de galette, et cette fraction de galette s'écrira en chiffre : 1 / 8

Cette notation rappelle de la division : numérateur - dénominateur.

Le chiffre au-dessus de la barre de fraction est appelé numérateur, celui qui est au-dessous est appelé dénominateur.

Le dénominateur indique en combien de fractions égales on a divisé, fractionné un ensemble. Le numérateur indique combien de fractions que l'on considère.

L23.gif

Une règle mesure 30 centimètres. Cela veut dire que l'on a divisé le mètre en 100 parties égales (on a obtenu des centimètres) et que la longueur de la règle est égale à 30 de ces parties égales.

Longueur de la règle = 1 mètre / 100 x 30 = 1 / 100 x 30

Le numérateur et le dénominateur sont les termes de la fraction.

Nous allons maintenant énoncer les différentes règles qui régissent les opérations sur les fractions. Nous vous invitons à les retenir (notamment pour les enfants).

5. 3. 1. - MULTIPLICATION

Règle : Pour multiplier 2 ou plusieurs fractions entre elles, on multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux.

Exemple :

 L24.gif

5. 3. 2. - DIVISION

Règle : Pour diviser deux fractions entre elles, on multiplie la fraction dividende par la fraction diviseur inversée.

Exemple :

L25.gif

Remarque : Si le numérateur et le dénominateur de la fraction dividende sont divisibles respectivement par le numérateur et le dénominateur de la fraction diviseur, on divise les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Exemple :

L26.gif

 5. 3. 3. - ADDITION

Règle : Pour additionner plusieurs fractions entre elles, il faut :

- Les réduire au même dénominateur ;  

- Additionner les numérateurs entre eux ;  

- Garder le dénominateur commun.

Exemple :

L27.gif

Réduction au même dénominateur : Pour réduire deux fractions au même dénominateur, on multiplie les deux termes de la première par le dénominateur de la seconde et les deux termes de la seconde par le dénominateur de la première.

Exemple :

L28.gif

S'il y a plus de deux fractions, on peut procéder par étapes successives.

Exemple :

L29.gif

1 - On considère les deux premières fractions suivantes :

L30.gif

2 - On considère maintenant cette nouvelle fraction avec la 3ème.

L31.gif

et, éventuellement, ainsi de suite.

Remarques : Il y aura lieu de simplifier les fractions chaque fois que cela sera possible, c'est-à-dire avant, pendant et après les calculs.

On simplifie une fraction en divisant chacun de ses deux termes par un même nombre. La nouvelle fraction obtenue est égale à la première.

Exemple :

L32.gif

Il est bien évident que l'on n'est pas obligé de passer par tous les calculs intermédiaires. Il faut essayer de trouver le plus grand commun diviseur des deux nombres.

Exemple :

 L33.gif

On voit immédiatement que 27 est divisible par 3 ainsi que 36. Mais on s'aperçoit aussi que ces deux nombres sont divisibles par 9 ; d'où :

L34.gif 

Nous venons de voir qu'on ne change pas la valeur d'une fraction en divisant ses deux termes par le même nombre. Ceci est aussi vrai pour la multiplication de ces deux termes, mais toujours par un même nombre non nul.

Exemple :

L35

D'où la règle : On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant ou en divisant chacun de ses termes par un même nombre non nul.

2 - On peut, pour simplifier l'écriture lors de la réduction au même dénominateur, ne pas poser tous les calculs comme on l'a fait mais effectuer les opérations mentalement.

Dans l'exemple qui suit, les flèches indiquent les produits à effectuer.

Exemple :

L36

D'autre part, puisque l'on sait que le dénominateur sera le même pour les deux fractions, on peut ne l'inscrire qu'une seule fois, ce qui devient :

L37

5. 3. 4. - SOUSTRACTION

Règle : Pour retrancher deux fractions entre elles, il faut :

1) Les réduire au même dénominateur ;

2) Soustraire les numérateurs ;

3) Garder le dénominateur commun.

Dans l'exemple qui suit nous allons, pour alléger l'écriture, procéder comme il vient d'être dit dans la remarque précédente :

L38

5. 3. 5. - PUISSANCES

Règle : Pour élever une fraction à une puissance, on élève chaque terme de la fraction à la puissance (on devrait dire "exposant").

Exemple :

L39

5. 3. 6. - RACINES

Règle : la racine d'une fraction est égale à la racine de chacun de ses termes.

Exemple :

L40.gif

Haut de page 5. 4. - OPÉRATIONS SUR LES FRACTIONS ET LES NOMBRES ENTIERS

5. 4. 1 - Multiplication

règle : Pour multiplier une fraction par un nombre (ou un nombre par une fraction), on multiplie le numérateur par ce nombre ou on divise le dénominateur par ce nombre.

L41

5. 4. 2. - TRANSFORMATION D'UNE FRACTION EN NOMBRE ENTIER (OU DÉCIMAL) ET INVERSEMENT

Comme il a été dit, une fraction se présente sous la forme d'un quotient. Si l'on effectue ce quotient, on obtient un nombre entier ou décimal égal à la fraction.

exemple :

L42

Remarque : Dans le cas où le résultat du quotient est un nombre entier, la fraction est aussi appelée rapport. Si au contraire, nous avons un nombre entier, ou décimal, à convertir en fraction nous opérerons ainsi :

1 - Nombre entier : il faut multiplier ce nombre par le dénominateur souhaité.

Exemples : On désire transformer le chiffre 3 en un certain nombre de tiers, quart, cinquième, etc...

L43

2. - Nombre décimal : Il faut multiplier ce nombre par la puissance de 10 qui transformera le nombre décimal en nombre entier.

Exemples

L44

5. 5. - NOMBRE FRACTIONNAIRE

Les opérations ci-dessus sont dédiés aux enfants et à ceux qu'ils veulent à apprendre ainsi que les adultes comme ci-après.

Définition : Un nombre fractionnaire est un nombre entier suivi d'une fraction.

L45

On peut convertir ces nombres fractionnaires en nombres décimaux.

Exemples :

L46

On peut également convertir les nombres fractionnaires en fraction.

Exemples :

L47

Résumé :

L48

 Haut de page 6. - RAPPORTS 

Définition : On appelle rapport de deux nombres "a" et "b" la quotient exact de ces deux nombres.

C'est ce que nous avions vu en examinant les fractions.

L49

On définit également le rapport de deux nombres comme étant le nombre par lequel il faut multiplier le second pour obtenir le premier.

Ainsi de a / b = c, on peut écrire c x b = a. Cela est maintenant évident. En effet, nous reconnaissons la manière d'effectuer la preuve de la division.

L50

6. 1. - PROPRIÉTÉS DES RAPPORTS

Comme un rapport s'exprime sous la forme d'une fraction, les règles examinées au sujet des fractions s'appliquent toutes aux rapports, et en particulier les sommes, produits et quotients.

Un rapport est donc assujetti aux mêmes règles et susceptible des mêmes simplifications qu'une fraction.

Dans l'étude des propriétés qui suit, nous rappellerons simplement celles que nous avons déjà vues avec les fractions.

Première propriété : On ne change pas la valeur d'un rapport en multipliant ou en divisant ses deux termes par un même nombre :

L51

Deuxième propriété : Pour additionner deux ou plusieurs rapports, on les réduit au même dénominateur, puis on additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur commun.

L52

Troisième propriété : Pour multiplier entre eux deux ou plusieurs rapports, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

L53

Quatrième propriété : Pour diviser deux rapports entre eux, on multiplie le rapport dividende par le rapport diviseur inversé :

L54

Cinquième propriété : Dans une suite de rapports égaux, le rapport obtenu, en prenant comme numérateur la somme des numérateurs, et comme dénominateur la somme des dénominateurs, est un rapport égal aux précédents.

Exemple :

L55

Sixième propriété : Dans une suite de rapports égaux, le rapport obtenu en prenant comme numérateur la différence des numérateurs, et comme dénominateur la différence des dénominateurs, est un rapport égal aux précédents.

L56

Haut de page 7. - PROPORTIONS

Définitions : On appelle proportion l'égalité de deux rapports.

L57

  • - a, b, c et d sont les termes de la proportion ;

  • - a et d sont les termes extrêmes, appelés plus simplement ("extrêmes") ;

  • - b et c sont les termes intermédiaires, appelés "moyens".

7. 1. - PROPRIÉTÉS DES PROPORTIONS

Première propriété : Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. Soit :

L58

Nous voyons immédiatement que : 2 X 6 = 3 X 4

Et plus généralement :

L59

Deuxième propriété : Dans une proportion, on peut permuter :

      soit les extrêmes ;

      soit les moyens ;

      ou les extrêmes et les moyens.

Reprenons l'égalité littérale trouvée précédemment :

L60

Divisons les deux membres de cette égalité par le produit ab :

L61

Divisons cette fois les deux membres par le produit cd :

L62

Divisons enfin cette égalité par le produit ac :

 L63

Troisième propriété : Dans une proportion, on peut remplacer chaque rapport par son inverse :

L64

7. 2. - QUATRIÈME PROPORTIONNELLE

Définition : On appelle quatrième proportionnelle aux trois nombres a, b et c le nombre x tel que :

L65

En faisant l'égalité entre le produit des extrêmes et des moyens, on trouve : ax = bc

Et, en divisant les deux termes par a :

L66

7. 3. - MOYENNE PROPORTIONNELLE

Définition : On dit que le nombre x est moyen proportionnel entre a et b. Si :

L67

Faisons produit des extrêmes = produit des moyens :

L68

Remarques :

  • 1) a et b sont tous deux positifs ou tous deux négatifs.

  • 2) Le signe ± se lit "plus ou moins". Il est nécessaire dans notre exemple car un carré a toujours deux racines carrées opposées. En effet, (+2)² = 4 et (-2)² = 4 (Application de la règle des signes).

7. 4. - RÉCAPITULATION DES PROPRIÉTÉS DES RAPPORTS PROPORTIONS

L69

Pour bien comprendre les leçons d'électroniques, nous allons continuer les maths afin de comprendre et de connaître la représentation graphique.

Avec les graphiques, nous avons toutes les valeurs sous les yeux et le calcul se réduit à une simple observation, complétée tout au plus par quelques opérations graphiques.



  Cliquez ici pour la leçon suivante ou dans le sommaire prévu à cet effet.   Haut de page
  Page précédente   Page suivante 



  

    






Envoyez un courrier électronique à Administrateur Web Société pour toute question ou remarque concernant ce site Web. 

Version du site : 10. 4. 12 - Site optimisation 1280 x 1024 pixels - Faculté de Nanterre - Dernière modification : 01 Novembre 2017.   

Ce site Web a été Créé le, 14 Mars 1999 et ayant Rénové, en Novembre 2017.