Créée le, 19/06/2015

 Mise à jour le, 02/09/2016

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  Théorèmes de DE MORGAN   Retour sur les fonctions NAND et NOR   Association de circuits
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Théorème de DE Morgan - Logique Positive et Logique Négative :



2. - LOGIQUE NÉGATIVE

Jusqu'ici, nous avons adopté une convention appelée convention logique positive ; c'est la plus utilisée et nous pensons qu'il vaut mieux pour les utilisations courantes s'en tenir à cette convention.

2. 1. - RAPPEL DE LA CONVENTION LOGIQUE POSITIVE

On fait correspondre à un contact fermé (état physique), l'état logique 1 et à un contact ouvert (état physique) l'état logique 0 (figure 33).

Convention_logique_positive.gif

2. 2. - LOGIQUE NÉGATIVE

Uniquement par convention, on a décidé de faire correspondre à l'état physique contact ouvert le niveau logique 1 et à un contact fermé le niveau logique 0 (figure 34), c'est-à-dire le contraire de la convention habituelle.

Analysons quelles sont les conséquences de ce changement de convention.

Convention_logique_negative.gif

PRINCIPE DE DUALITÉ

Considérons la table de fonctionnement d'une porte ET telle qu'elle est donnée par le constructeur (figure 35) dans le cas d'une porte ET électronique :

Table_de_fonctionnement_d_une_fonction_ET.gif

Écrivons maintenant la table de vérité de ce montage, en adoptant la convention logique positive L = 0, H = 1 ; nous obtenons la table de vérité de la figure 36.

 Table_de_verite_d_une_fonction_ET.gif

Cette table de vérité est la table de vérité bien connue telle que nous l'avons vue dans la théorie 2.

Écrivons à nouveau la table de vérité du montage mais cette fois-ci, en utilisant la convention logique négative (figure 37).

Table_de_verite_d_une_fonction_logique_negative.gif

Remettons maintenant cette table de vérité en ordre de telle sorte que les variables d'entrée croissent suivant un ordre binaire (figure 38).

Table_de_verite_d_un_OU_inclusif(1).gif

Nous obtenons la table de vérité d'un OU inclusif.

On peut donc affirmer que :

"Un opérateur ET en logique positive se comporte comme un opérateur OU en logique négative".

Si l'on établit les tables de vérité de tous les circuits logiques dans l'un et l'autre type de logique, on peut écrire le tableau suivant (figure 39).

Table_de_dualite_des_fonctions_logiques.gif

Ces correspondances étaient très utilisées pour économiser des boîtiers dans les circuits numériques, mais la baisse des prix des circuits a fait pratiquement abandonner ce système qui est source d'erreurs.

Sur les catalogues de circuits intégrés, la fonction indiquée est celle que celui-ci aurait en logique positive. Un circuit ET du commerce fonctionne donc comme un ET en logique positive et comme un OU en logique négative.

Dans toute la suite de cette théorie, il ne sera plus question que de convention logique positive, c'est-à-dire la convention que nous avons toujours utilisée. Le chapitre 2 de cette théorie peut donc être considéré comme une parenthèse. Vous vous reporterez à ce paragraphe uniquement au cas peu probable où vous rencontreriez un système ancien utilisant la convention logique négative.

HAUT DE PAGE 3. - THÉORÈMES DE DE MORGAN

3. 1. - 1er THÉORÈME DE DE MORGAN Theoreme_de_DE_MORGAN.gif

Démonstration par les cercles d'Euler figure 40.

Soit un ensemble A et son complément A_barre.gif (hachures vertes) et un ensemble B et son complément B_barre1.gif (hachures rouges).

Formule_de_DE_Morgan_representation_d_Euler.gif

La réunion A È B de A et de B sera la surface incluse dans le contour bleu.

Le complément de A È B par rapport à   sera la surface doublement hachurée soit Theoreme_de_DE_MORGAN1.gif. Cette surface étant doublement hachurée, il va de soit que c'est bien l'intersection des compléments de A et de B soit Theoreme_de_DE_MORGAN2.gif.

On peut donc bien dire que :

Theoreme_de_DE_MORGAN.gif

Nous pouvons donc dire en algèbre de Boole que :

= .

L'inverse d'une somme logique de deux variables est égal au produit logique des inverses de ces deux variables.

3. 2. - 2ème THÉORÈME DE DE MORGAN Theoreme_de_DE_MORGAN3.gif

Démonstration par les cercles d'Euler (figure 41).

Formule_de_DE_Morgan_representation_d_Euler1.gif

Soit un ensemble A et son complément A_barre.gif (hachures vertes) et un ensemble B et son complément B_barre1.gif (hachures rouges).

L'intersection de A et B : A Ç B sera la surface incluse dans le contour bleu.

Le complément de A Ç B soit Theoreme_de_DE_MORGAN4.gif sera la partie hachurée en noir.

Nous voyons par ailleurs que cette même surface hachurée en noir est l'union de A_barre.gif et B_barre1.gif soit Theoreme_de_DE_MORGAN5.gif, en effet cette zone hachurée noire recouvre toutes les hachures vertes A_barre.gif et toutes les hachures rouges B_barre1.gif.

En algèbre de Boole, nous pouvons donc écrire :

a_et_b_complementation.gif = +  

L'inverse du produit logique de deux variables est égal à la somme des inverses des deux variables.

HAUT DE PAGE 3. 3. - RETOUR SUR LES FONCTIONS NAND ET NOR

3. 3. 1. - OPÉRATEUR NAND

Dans le chapitre précédent, nous avons vu pour l'opérateur NAND, dont l'équation était S = a_et_b_complementation.gif, le circuit électrique suivant (figure 42).

Circuit_NAND.gif

Nous pouvons maintenant grâce au théorème de De Morgan simplifier ce circuit, en effet S = a_et_b_complementation.gif = + . Il suffit donc de mettre deux contacts au repos en parallèle pour obtenir le même résultat que précédemment ce qui est très intéressant (figure 43).

Circuit_NAND_simplifie.gif

Vérifions le fonctionnement de ce circuit (figure 44) en étudiant les quatre possibilités de combinaisons de a et b.

Fonctionnement_du_circuit_NAND_simplifie.gif

Reportons les résultats obtenus dans un tableau de Karnaugh (figure 45).

Tableau_de_Karnaugh_du_circuit_NAND.gif

Nous retrouvons bien le tableau de Karnaugh d'un circuit NAND (figure 43).

Nous voyons au passage que le tableau de Karnaugh donne lui aussi S =  + et que grâce à lui, on obtient bien la solution la plus simple.

3. 3. 2. - OPÉRATEUR NOR

Dans le chapitre précédent, nous avons vu l'opérateur NOR dont l'équation était S = a_ou_b_complementation.gif compte tenu du théorème de De Morgan nous pouvons écrire :

S = a_ou_b_complementation.gif  = .

D'où le schéma de la figure 46 :

Circuit_NOR_simplifie.gif

Vous pourrez vous-même réaliser les vérifications de la bonne conformité de la table de vérité de ce circuit NOR avec celle que nous connaissons.

HAUT DE PAGE 3. 4. - ASSOCIATION DE CIRCUITS, TRANSFORMATION DE SCHÉMA

Nous avons étudié différentes fonctions fondamentales qui sont disponibles sous forme de circuits intégrés.

Dans chaque boîtier, il y a plusieurs fonctions du même type. C'est ainsi que l'on rencontre des circuits intégrés contenant quatre NAND à deux entrées.

Le concepteur de systèmes numériques devra donc lorsqu'il aura utilisé un NAND savoir que dans le même boîtier trois autres NAND à deux entrées sont disponibles et encore inutilisés.

Il sera donc parfois intéressant de pouvoir transformer un circuit ET en deux circuits NAND, par exemple si l'on a un excédent de portes NAND disponibles alors qu'il serait nécessaire de mettre un boîtier supplémentaire contenant des ET.

Le problème se complique lorsque l'on veut faire par exemple un OU avec des NAND. On a alors recours a une simplification au moyen du théorème de De Morgan.

Le théorème de De Morgan nous donne la relation suivante : a_et_b_complementation.gif = + qui permet de développer les équivalences entre circuits.

Si l'on observe le premier terme de l'égalité, c'est-à-dire a_et_b_complementation.gif, on remarque que c'est le résultat obtenu en sortie d'un NAND à partir de deux variables a et b présentes sur les entrées.

Le second terme de l'égalité + représente une somme logique, c'est-à-dire le résultat obtenu à la sortie d'un OU dont on a complémenté les entrées.

La représentation schématique de cette égalité est faite à la figure 47.

Illustration_du_theoreme_de_De_Morgan.gif

Ceci signifie qu'un NAND est équivalent à un OU précédé d'inverseurs.

Pour vérifier en pratique que les deux montages précédents sont bien équivalents, il suffit d'appliquer des niveaux logiques en a et en b au second montage pour voir si l'on peut écrire une table de vérité analogue à celle d'un circuit NAND. Dans ce cas, les deux montages seront bien équivalents.

Nous savons qu'il existe 4 combinaisons différentes de deux variables a et b ; si vous le désirez vous pouvez effectuer la vérification pour ces quatre combinaisons. Nous n'étudierons pour notre part que la combinaison a = 0 et b = 0.

La figure 48 montre le résultat pour a = b = 0. Connaissant les tables de vérité des inverseurs, celle des ET et celle des OU, il nous a été facile de trouver ce résultat.

Le niveau de la sortie est alors à 1 pour les deux montages.

Illustration_du_theoreme_de_De_Morgan1.gif  

En procédant de la même manière, nous pouvons vérifier que l'équivalence est valable lorsque a = 0 et b = 0, a = 1 et b = 0 et enfin lorsque a = b = 1. Nous retrouvons ainsi la table de vérité d'un NAND.

Le circuit OU à entrées complémentées peut se représenter comme indiqué figure 49.

Circuit_OU_a_entrees_complementees.gif

Exemple :

Appliquons ce principe au schéma de la figure 50.

Schema_constitue_de_NAND_et_d_inverseurs.gif

Pour voir comment il fonctionne, on le transforme en un circuit équivalent en appliquant le théorème de DE MORGAN au circuit NAND de sortie.

Nous obtenons la figure 51.

Nous voyons maintenant que chaque circuit NAND est suivi d'un inverseur, ce qui revient à remplacer le NAND et l'inverseur par un ET. En effet, on peut dire que y_deux_barres.gif = y (deux inversions successives s'annulent).

Circuit_equivalent_de_la_figure_50.gif

On obtient ainsi le circuit logique de la figure 52.

Circuit_equivalent_des_figures_50_et_51.gif

Le circuit n'est autre que celui d'un OU exclusif déjà présenté figure 25.

Le théorème de DE MORGAN nous a permis de trouver un circuit équivalent. Nous verrons par la suite comment tirer profit de celui-ci dans d'autres exemples.

Dès à présent nous pouvons voir que tout circuit logique peut être réalisé avec uniquement des circuits d'un même type, des NAND par exemple.

Le concepteur de circuit a toujours la possibilité de choisir à sa convenance le type de boîtier qu'il souhaite utiliser.

Jusqu'à présent, nous avons appliqué le théorème de DE MORGAN aux circuits NAND mais il peut être appliqué d'une façon générale à toute équation logique et en particulier à la fonction NOR.

Dans ce dernier cas, la relation est a_ou_b_complementation.gif = . 

Nous pouvons matérialiser cette égalité par le schéma de la figure 53.

Theoreme_de_DE_MORGAN_applique_a_un_circuit_NOR.gif

Si vous le désirez, vous pouvez facilement en reprenant le même principe que pour la démonstration de l'équivalence schématisée figure 47 (cas du NAND) établir la table de vérité de chacun des montages figure 53 pour démontrer l'équivalence de ceux-ci.

Fin de cette leçon et nous allons apprendre la Méthode de QUINE-MAC CLUSKEY.


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